Cara Mudah Mengingat Rumus Trigonometri

            Dalam kehidupan sehari-hari banyak yang berkaitan dengan kejadian berulang atau periodik misalnya gerakan bandul jam, gerak partikel dalam dawai atau gelombang suara, gerakan partikel di bumi selama terjadinya gempa dan sebagainya. Posisi gerakan pada setiap saat di selang waktu tertentu dapat digambarkan sebagai persamaan d= sin ω t yang dikenal sebagai gerakan harmonik sederhana. Jika posisi geraknya dimulai pada saat t=t₀ maka persamaan geraknya adalah d = sin ω (t-t₀) yang bentuk umum matematikanya y= a sin (ωt+ɵ).

Sebagai prasyarat untuk memahami konsep tersebut perlu dipelajari sifat trigonometri yang berkaitan dengan dua sudut. Pada artikel kali ini akan dibahas tentang rumus trigonometri dari penjumlahan dan selisih dua sudut beserta kaitannya untuk sudut ganda dan setengah sudut. Dan juga rumus perkalian sinus dan kosinus dalam jumlah atau selisih sinus atau kosinus.

A.    Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Nilai Trigonometri dari jumlah dan selisih dua sudut dituliskan sebagai berikut :

1.      Sin (A+B)                         = sinA.cosB + cosA.sinB

2.      Sin (A-B)              = sinA.cosB -  cosA.sinB

3.      Cos (A+B)                        = cosA.cosB – sinA.sinB

4.      Cos (A-B)                         = cosA.cosB + sinA.sinB

5.      Tan (A+B)             =

6.      Tan (A-B)              =

Cara cepat menghafal rumus jumlah dan selisih dua sudut :

1.      Saya anak + baik         = sinta cium + cium sayang

2.      Saya anak – baik         = sinta cium - cium sayang

3.      Cowok arum + baik    = cium cium – sayang sayang

4.      Cowok arum – baik     = cium cium + sayang sayang

5.      Tante adi + bohai        = tante adi +tante budi bagi 1-tante adi tante budi

6.      Tante adi - bohai         = tante adi -tante budi bagi 1+tante adi tante budi

B.     Rumus Sudut Rangkap dan Setengah sudut

1.      Sin 2A       = 2sinA.cosA

2.      Cos 2A      = cos²A-sin²A

= 2cos²A -1

= 1- 2sin²A

3.      Tan 2A      =

C.     Rumus Setengah Sudut

1.      sin        =

2.      cos        =

3.      tan        =

4.      tan        =

D.    Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

1.      2sinA.cosB            = sin(A+B) + sin(A-B)

2.      2cosA.sinB            = sin(A+B) – sin(A-B)

3.      2cosA.cosB           = cos(A+B) + cos(A-B)

4.      2sinA.sinB                        = cos(A+B) – cos(A-B)

Cara cepat menghapal rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Sinus dan Cosinus :

1.      2 kali saya cium           = saya + sayang

2.      2 kali cium saya           = saya – sayang

3.      2 kali cium cowok       = cowok + cinta

4.      2 kali saya sentuh        = cowok - cinta

Pembelajaran Matematika Bagi Anak Berkebutuhan Khusus (ABK)

Guru merupakan sosok yang dihormati lantaran memiliki andil yang sangat besar terhadap keberhasilan pembelajaran disekolah. Guru sangat membantu dalam perkembangan peserta didik untuk mewujudkan tujuan hidupnya secara optimal.ketika orang tua mendaftarkan anaknya ke sekolah,ketika itu juga ia menaruh harapan terhadap guru, agar anaknya dapat berkembang secara optimal.Minat, bakat, kemampuan, dan potensi peserta didik tidak akan berkembang secara optimal tanpa bantuan guru. Dalam hal ini guru perlu memperhatikan peserta didik secara individual.

Tugas guru tidak hanya mengajar, tapi juga mendidik, mengasuh, membimbing, serta membentuk kepribadian siswa guna menyiapkan dan mengembangkan sumber daya manusia.Permasalahan yang muncul biasanya banyak terjadi pada diri guru itu sendiri. Seorang guru secara sadar maupun tidak sadar acap kali sering melakukan kesalahan-kesalahan dalam proses pembelajarannya. Khususnya dalam proses pembelajaran matematika, terkadang guru tidak memahami bahwa siswa memiliki keberagaman dalam hal menangkap materi yang disampaikan.

Akibatnya guru kemudian cuek dan tidak peduli bagaimana keadaaan psikologis siswa-siswanya, padahal bisa saja dalam kelas tersebut terdapat siswa yang memiliki kebutuhan khusus. Siswa yang seperti ini akan merasa terdiskriminasi, kurang termotivasi dan merasa takut dalam belajar matematika.Matematika merupakan sesuatu substansi yang sangat penting dalam kehidupan sehari-hari. Walaupun tidak nyata, dalam sektor kehidupan, seperti di rumah, di pekerjaan, dan di masyarakat akan selalu menggunakan matematika. Misalnya  dalam  penggunaan  uang  akan  melibatkan  konsep  dan  keterampilan matematika.

Salah satu contoh kasus di sebuah sekolah yang mempunyai kesulitan belajar (learning disabilities). Salah satu Guru kelas di sekolah tersebut memberikan informasi bahwa anak ini selalu memperoleh nilai yang rendah dan selalu tertinggal dari teman-temanya serta menunjukkan tingkah laku yang beda dibandingkan dari siswa lainnya yaitu sering murung, selalu kebingungan dan tampak kurang gembira setiap mengikuti pelajaran matematika.

Kenyataan ini memberikan masukan bahwa sudah semestinya guru sebagai pendidik agar lebih jeli dalam memperhatikan keadaan siswanya pada saat proses pembelajaran berlangsung khususnya pada mata pelajaran matematika. Sehingga proses pembelajaran dapat berjalan dengan baik dan memperoleh hasil yang baik bukan hanya bagi siswa yang normal, tetapi juga siswa yang berkebutuhan khusus.

Menyikapi masalah tersebut, langkah awal yang bisa dilakukan seorang guru matematika apabila menemukan salah satu atau beberapa siswanya berkebutuhan khusus ialah dengan mencari hambatan-hambatan apa saja yang mengakibatkan siswa tersebut mengalami kesulitan dalam belajar. Hal ini dapat diwujudkan dengan adanya interaksi sosial yang baik antara guru dan siswa, serta siswa dan siswa. Interaksi sosial tersebut dapat terbentuk dengan baik jika setiap guru maupun siswa mempunyai sikap atau kesiapan mental yang baik. Adanya sikap atau kesiapan mental yang baik dari semua anggota sekolah sangat diperlukan, sehingga dapat terjalinnya hubungan yang baik di lingkungan sekolah khususnya saat pembelajaran matematika.

Setelah memahami hambatan belajar siswa tersebut barulah kemudian guru merancang suatu metode pembelajaran yang bisa melibatkan anak berkebutuhan khusus tersebut untuk aktif dalam kelas. Berbagai metode pengajaran yang umumnya digunakan oleh guru bagi anak berkebutuhan khusus yaitu: Communications, Task Analisis, Direct Instructions, dan Prompts.

Sistem Bilangan Asli

            Suatu sistem yang dipelajari dengan pendekatan aksiomatis dimulai dari sejumlah istilah (term) primitif dan sejumlah aksioma. Selanjutnya istilah-istilah primitif dengan defenisi bersama-sama dengan beberapa aksioma diturunkan teorema. Terorema dibuktikan hanya dengan aksioma-aksioma yang telah dibuktikan sebelumnya atau denagn aturan dalam logika dan tidak dibenarkan menggunakan terorema-terorema diluar sistem yang akan dipelajari. Istilah-istilah primitif yang diambil dalam mempelajari aksiomatis sistem bilangan asli adalah bilangan asli, pengikut(successor) dan 1. Aksioma yang digunakan adalah 5 Aksioma Peano.

a.       Terorema Peano

1.      Aksioma 1

Aksioma 1 ini menyatakan bahwa sistem yang dipelajari tidak kosong. Sistem yang dipelajari mempunyai anggota yang disebut 1. Pengikut dari 1 ditulis 1’, pengikut 1’ adalah (1’)’ ditulis 1’’, pengikut dari 1’’ adalah 1’’’ dan seterusnya. Sehingga terbentuk bilangan asli : 1, 1’, 1’’, 1’’’,.......... . Dengan simbol yang lazim digunakan, barisan bilangan tersebut adalah 1, 2, 3,4, ....... .

2.      Aksioma 2

Setiap bilangan asli n, ada tepat satu bilangan asli yang disebut pengikut n ditulis n’. Jika 2 bilangan asli maka pengikut-pengikutnya sama pula. Jika bilangan-bilangan asli m=n, maka m’=n’. Telah dikemukakan diatas bahwa 1 diambil sebagai istilah primitif, maka 1 bukan pengikut bilanagan asli manapun. Hal ini dinyatakan sebagai aksioma berikut ini.

3.      Aksioma 3

Untuk setiap bilangan asli n, maka n’≠1. Dengan kata lain, aksioma 3 dapat dinyatakan sebagai : tidak ada bilangan asli yang berpengikut 1 atau 1 bukan pengikut dari bilangan asli maupun, atau tak ada bilangan asli n, sedemikian sehingga n’≠1. Konvers dari aksioma 2 dinyatakan sebagai aksioma berikut ini.

4.      Aksioma 4

Jika m dan n bilangan-bilangan asli dan m’=n’, maka m=n. Dengan kata lain aksioma 4 dapat dinyatakan sebagai : Bilangan-bilangan asli yang berbeda tak mungkin mempunyai pengikut-pengikut yang sama atau ada tepat satu bilangan asli yang merupakan pengikut suatu bilangan asli yang diketahui. Induksi lengkap atau induksi matematika yang telah dikenal dan digunakan dinyatakan sebagai aksioma berikut ini.

5.      Aksioma 5

Jika S adalah suatu himpunan bilangan asli sedemikian hingga

(i)                 1 adalah anggota S, dan

(ii)               Apabila k anggota S maka k’ anggota S

Maka S memuat semua bilangan asli. Semua sifat yang telah dikenal dalam sistem bilangan asli dapat dibuktikan dengan aksioma-aksioma tersebut beserta defenisi-defenisi yang diberikan. Perhatikam aksioma 4, maka kontra positifnya pun benar pula.

Teorema 1

            Jika m dan n bilangan-bilangan asli dan m≠n, maka m’≠n’. Dengan menggunakan aksioma –aksioma diatas kita dapat menurunkan bahwa setiap bilangan asli n, n≠n’.

Teorema 2

Setiap bilangan asli n, n≠n’

Bukti :

Misalkan S adalah himpunan bilangan asli n yang memiliki sifat n≠n’.

(i)                 Menurut aksioma 1, karena S himpunan bilangan asli, maka 1 adalah anggota S

(ii)               Ambil n є S, berarti n≠n’, maka n’≠(n’)’ berarti n’ є S

Dari (i) dan (ii) menurut aksioma 5, S memuat semua bilangan asli. Dengan kata lain setiap bilangan asli n berlaku n≠n’.

Aksioma 4

Menyatakan bahwa ada tepat 1 bilangan asli yang merupakan pengikut suatu bilangan asli yang diketahui. Apabila setiap bilangan asli kecuali 1 mesti ada bilangan asli lain, sehingga bilangan asli pertama merupakan pengikut bilangan asli lain itu. Perhatikan teorema berikut ini.

Teorema 3

Jika n bilangan asli dan n≠1, maka ada tepat satu bilangan asli m sehingga n=m’.

Bukti :

      Misalkan S adalah himpunan bilangan yang memuat 1 dan semua bilangan n yang mempunyai m sehingga n=m’.

(i)                 1 jelas anggota S

(ii)               Ambil nєS, berarti ada bilangan asli m sehingga n=m’, maka n dapat juga disebut m’ sehingga karena nєS maka m’єS pula.

Maka menurut aksioma 5, dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa S memuat semua bilangan asli. Ini berarti untuk setiap bilangan asli n dengan n≠1, ada bilangan asli m’ sehingga n=m’. Sekarang tinggal membuktikan ketunggalan adanya m’.

      Andaikan ada bilanagn asli p denagn p≠m sehingga n=p’. Karena n=m’ dna m’= p’ maka m=p. Diperoleh kontradiksi denagn pengandaian bahwa m≠p, maka pengandaian tersebut harus diingkar, berarti m=p, maka ada tepat satu bilangan m sehingga m’= n